পর পর ১০ টি সংখ্যার প্রথম ৫টির যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টির যোগফল কত?

Created: 4 months ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

৫৮৫
খ

৫৬০
গ

৫৭৫
ঘ

৫৭০

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, পর পর ১০ টি সংখ্যা হলো:

$x, x+1, x+2, x+3, x+4, x+5, x+6, x+7, x+8, x+9$

প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল:

$x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + (x+4)$

$= 5x + (0+1+2+3+4)$

$= 5x + 10$

প্রশ্নমতে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল ৫৬০।

$5x + 10 = 560$

$5x = 560 - 10$

$5x = 550$

$x = \frac{550}{5}$

$x = 110$

এবার শেষ ৫টি সংখ্যা নির্ণয় করি। শেষ ৫টি সংখ্যা হলো:

$x+5, x+6, x+7, x+8, x+9$

এই সংখ্যাগুলোর যোগফল:

$(x+5) + (x+6) + (x+7) + (x+8) + (x+9)$

$= 5x + (5+6+7+8+9)$

$= 5x + 35$

$x = 110$ হওয়ায়, $5x = 5 \times 110 = 550$

সুতরাং, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল:

$= 550 + 35$

$= 585$

💡 শর্টকাট টেকনিক:

যখন পর পর (ধারাবাহিক) কিছু সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রথম নির্দিষ্ট সংখ্যক সংখ্যার যোগফল দেওয়া থাকে এবং পরবর্তী একই সংখ্যক সংখ্যার যোগফল বের করতে বলা হয়, তখন একটি সহজ পদ্ধতি ব্যবহার করা যায়।

এখানে প্রথম ৫টি সংখ্যা এবং পরবর্তী ৫টি সংখ্যার যোগফল জানতে চাওয়া হয়েছে। প্রতিটি পরবর্তী সংখ্যা তার আগের সংখ্যা থেকে ১ বেশি।

যদি প্রথম ৫টি সংখ্যা $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ হয়, তবে পরবর্তী ৫টি সংখ্যা হবে $a_1+5, a_2+5, a_3+5, a_4+5, a_5+5$।

প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল = $S_1$

শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল = $S_2$

$S_2 = (a_1+5) + (a_2+5) + (a_3+5) + (a_4+5) + (a_5+5)$

$S_2 = (a_1+a_2+a_3+a_4+a_5) + (5+5+5+5+5)$

$S_2 = S_1 + (5 \times 5)$

$S_2 = S_1 + 25$

এখানে, প্রথম ৫টি সংখ্যার যোগফল $S_1 = 560$।

সুতরাং, শেষ ৫টি সংখ্যার যোগফল $S_2 = 560 + 25 = 585$।

Azizar Rahman Aziz

2 months ago

MCQ: 399 CQ: 51

Practice

সমান্তর ধারা (Arithmetic Progression)

কোনো ধারার যেকোনো পাশাপাশি দুইটি পদের পার্থক্য সব সময় সমান হলে, সেই ধারাটিকে সমান্তর ধারা বলে।

উদাহরণ ১. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 একটি ধারা। এই ধারাটির প্রথম পদ 1, দ্বিতীয় পদ 3, তৃতীয় পদ 5 ইত্যাদি।

এখানে, দ্বিতীয় পদ - প্রথম পদ = 3 – 1 = 2,

তৃতীয় পদ দ্বিতীয় পদ = 5 – 3 – 2, চতুর্থ পদ তৃতীয় পদ = 7 – 5 = 2,

পঞ্চম পদ চতুর্থ পদ = 9 – 7 = 5, ষষ্ঠ পদ পঞ্চম পদ = 11-9=2

সুতরাং, ধারাটি একটি সমান্তর ধারা।

এই ধারায় প্রাপ্ত দুইটি পদের বিয়োগফলকে সাধারণ অন্তর বলা হয়। উল্লেখিত ধারার সাধারণ অন্তর 2। ধারাটির পদ সংখ্যা নির্দিষ্ট। এ জন্য এটি একটি সসীম বা সান্ত ধারা (Finite Series)। উল্লেখ্য, সমান্তর ধারার পদসংখ্যা নির্দিষ্ট না হলে একে অসীম বা অনন্ত ধারা (Infinite Series) বলে। যেমন, 1 + 4 + 7 + 10 + . . . একটি অসীম ধারা। সমান্তর ধারায় সাধারণত প্রথম পদকে a দ্বারা এবং সাধারণ অন্তরকে d দ্বারা প্রকাশ করা হয়। তাহলে সংজ্ঞানুসারে, প্রথম পদ a হলে, দ্বিতীয় পদ a + d, তৃতীয় পদ a + 2d ইত্যাদি। সুতরাং, ধারাটি হবে, a + (a +d) + (a + 2d) + . . . ।

সমান্তর ধারার সাধারণ পদ নির্ণয়

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a ও সাধারণ অন্তর d। তাহলে ধারাটির

প্রথম পদ = a = a + (1 – 1)d

দ্বিতীয় পদ = a + d = a + (2 – 1)d

তৃতীয় পদ = a + 2d = a + (3 – 1)d

চতুর্থ পদ = a + 3d = a + (4 – 1) d

. . . . . .

$∴$ n তম পদ = a + (n - 1) d

এই n তম পদকেই সমান্তর ধারার সাধারণ পদ বলা হয়। কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d জানা থাকলে n তম পদে n 1, 2, 3, 4, . . . বসিয়ে পর্যায়ক্রমে ধারাটির প্রত্যেকটি পদ = নির্ণয় করা যায়।

মনে করি, একটি সমান্তর ধারার প্রথম পদ 3 এবং সাধারণ অন্তর 2। অতএব, ধারাটির n তম পদ = 3 + (n – 1) × 2 = 2n + 1 ।

উদাহরণ ২. 5 + 8 + 11 + 14 + . . . ধারাটির কোন পদ 383 ?

সমাধান : ধারাটির প্রথম পদ a = 5, সাধারণ অন্তর d = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3

$∴$ ইহা একটি সমান্তর ধারা।

মনে করি, ধারাটির n তম পদ = 383

আমরা জানি, n তম পদ = a + (n – 1)d

$∴$ প্রদত্ত ধারার 127 তম পদ = 383 I

সমান্তর ধারার n সংখ্যক পদের সমষ্টি

মনে করি, যেকোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n এবং ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি $S_{n}$ ।

ধারাটিকে প্রথম পদ হতে শেষ পদ এবং বিপরীতক্রমে শেষ পদ হতে প্রথম পদ লিখে পাওয়া যায়,

কোনো সমান্তর ধারার প্রথম পদ a, শেষ পদ p এবং পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (3) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়। কিন্তু প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d, পদ সংখ্যা n জানা থাকলে, (4) নং সূত্রের সাহায্যে ধারাটির সমষ্টি নির্ণয় করা যায়।

প্রথম n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি নির্ণয়

মনে করি, n সংখ্যক স্বাভাবিক সংখ্যার সমষ্টি $S_{n}$